גל אינרציאלי

החקירה הראשונה של תנודות וגלים המתקדמים באמצעות היציבות הפנימית של זורם מסתובב נערכה על ידי לורד קלווין ב-1880, בעבור גאומטריה גלילית. מאוחר יותר, אנרי פואנקרה, אלי קרטן ואחרים חקרו תנועות דומות עבור גאומטריה ספרואידית. Bjerknes ושותפיו גילו מחדש באופן בלתי תלוי את התנודות תלויות הסיבוב הללו, וכינו אותן תנודות "אלסטו-אינרציאליות". חלק ניכר מהעבודות המוקדמות הללו קובץ במונוגרפיה של Harvey P. Greenspan מ-1968 - "התאוריה של זורמים מסתובבים", בה נידונים הן גלים אינרציאליים בזורמים לא חסומים והן מודי תנודה אינרציאליים בתחומים חסומים. לאחרונה נעשתה התקדמות תאורטית לא מבוטלת לקראת מציאת פתרונות מפורשים למודי תנודה אינרציאליים בעבור כלי קיבול בצורות גאומטריות אחדות.

גלה עוד נושאים הקשורים לסקירה היסטורית

אנרי פואנקרה

אנרי פואנקרה

זִ'יל אַנְרִי פּוּאַנְקָרֶה, היה מתמטיקאי, פיזיקאי עיוני, מהנדס ופילוסוף צרפתי. מתואר לעיתים קרובות כאיש אשכולות, ובמתמטיקה כ"אחרון האוניברסליסטים", מאחר שהיה המתמטיקאי הבולט האחרון שהצליח להיות שותף יוצר ופעיל בכל ענפי המתמטיקה בתקופתו. השתתף בפיתוח תורת הכאוס המוכרת לנו כיום.

אלי קרטן

אלי קרטן

אלי ז'וזף קרטן היה מתמטיקאי צרפתי שנודע בזכות עבודתו המרכזית על תאוריות חבורות לי והשלכותיהן הגאומטריות. תרם רבות גם לפיזיקה מתמטית, גאומטריה דיפרנציאלית ותורת החבורות.

ספרואיד

ספרואיד

ספרואיד הוא משטח סיבוב הנוצר מסיבוב אליפסה סביב אחד מציריה. זהו גם אליפסואיד בעל שני צירים שווים. כאשר ציר הסיבוב הוא הציר הראשי של האליפסה מתקבל ספרואיד מוארך, צורה של כדור פוטבול. אם ציר הסיבוב הוא הציר המשני מתקבל ספרואיד אובלי או ספרואיד פחוס. זוהי, בקירוב, צורתו של כדור הארץ. אם שני הצירים זהים, האליפסה היא מעגל ולכן הצורה שתתקבל היא ספירה.

תבניות וקטורי המהירות אותן מייצגים גלים אינרציאליים מוחזרות למצב שיווי משקל על ידי כוח קוריוליס, שהוא תוצאה של סיבוב המערכת. תאוצת קוריוליס (יחד עם הכוח הצנטריפוגלי) מופיעה במערכת מסתובבת כדי לפצות על העובדה שמערכת ייחוס כזאת מאיצה כל העת. גלים אינרציאליים, לפיכך, לא יכולים להתקיים ללא סיבוב. כוח קוריוליס הוא מורכב וקשה יותר להבנה ממתיחות במיתר, שכן הוא פועל תמיד בניצב לכיוון התנועה, וחוזקו תלוי בקצב הסיבוב של המערכת ובמהירות הפרודה כפי שנצפית במערכת המסתובבת. תכונות אלו של כוח קוריוליס מוליכות למאפיינים הייחודיים של גלים אינרציאליים.

העובדה שבמערכות ייחוס מסתובבות ישנו כיוון מועדף מסוים (ציר הסיבוב) מכתיבה התנהגות פיזיקלית אי-איזוטרופית לגלים אינרציאליים; מסיבה זו לגלים אלו תכונות ייחודיות, ובין היתר תדירותם תלויה אך ורק בכיוון התקדמותם. כמו כן חוק ההחזרה, לפיו גל מוחזר באופן כזה שזווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה, אינו תקף לגלים אינרציאליים; במקום זאת, הם מוחזרים באופן שמשמר את הזווית בין כיוון התקדמותם לציר הסיבוב.

בדומה לגלי אור, גלים אינרציאליים הם גלים רוחביים, כלומר התנודות שהם מייצגים מתחוללות בניצב לכיוון התקדמות הגל. הקיטוב שלהם הוא קיטוב מעגלי. תכונה גאומטרית ייחודית אחת של גלים אינרציאליים היא שמהירות המופע שלהם, שמתארת את ההתקדמות של נקודות השיא והשפל של הגל, היא ניצבת למהירות החבורה, שמתארת את קצב וכיוון העברת האנרגיה. ההסבר לכך הוא שתדירות הגל תלויה אך ורק בכיוונו של וקטור הגל ${\displaystyle {\vec {k}}}$ (שהוא גם כיוון מהירות המופע) ולא בערכו המוחלט של וקטור הגל^[1]; לפיכך, הנוסחה למהירות החבורה, ${\displaystyle c_{g}=d\omega /dk}$, אינה מתאפסת רק עבור שינויים זעירים בוקטור הגל הניצבים לכיוונו הנוכחי - ולכן מהירות החבורה ניצבת לוקטור הגל!

בעוד שבגלי קול או גלים אלקטרומגנטיים כל תדירות אפשרית, תדירותם של גלים אינרציאליים יכולה לקבל ערך בטווח שבין אפס לפעמיים המהירות הזוויתית של מערכת הזורם. כפי שצוין מקודם, תדירותם נקבעת על ידי כיוון התקדמותם. לגלים הנעים לגמרי במישור הניצב לציר הסיבוב יש תדירות אפס והם מכונים מודים גאוסטרופיים. לגלים הנעים במקביל לציר הסיבוב יש תדירות מרבית (פעמיים תדירות הסיבוב), ולגלים בזוויות ביניים יש תדירויות ביניים. במרחב החופשי (ללא קצוות המכתיבים תנאי שפה), גלים אינרציאליים יכולים להתקיים בכל תדירות בין 0 ופעמיים קצב הסיבוב. מיכל סגור, לעומת זאת, מכתיב אילוצים על התדירויות האפשריות של גלים אינרציאליים, כמו בכל סוג גלים אחר^[2]. גלים אינרציאליים במיכל סגור מכונים לעיתים קרובות מודים אינרציאליים. במיכל כדורי, למשל, המודים האינרציאליים מהווים אוסף בדיד של תדירויות, מה שמותיר מרווחי תדירות אותן גלים אינרציאליים לא יכולים לקבל.

גלה עוד נושאים הקשורים למאפיינים

איזוטרופיות

איזוטרופיות

איזוטרופיות (Isotropy) היא אי תלות בכיוון. לאיזוטרופיות יש משמעות במספר תחומים, כגון: מתמטיקה, פיזיקה, אופטיקה, פיזיולוגיה ותכונות חומרים.

תדירות

תדירות

בפיזיקה, המונח תְּדִירוּת של תופעה מחזורית מציין את מספר המחזורים שמתבצעים בכל יחידת זמן. דוגמה לכך היא גוף קשיח שמסתובב בחופשיות - תדירותו היא מספר הסיבובים שהוא מבצע בכל פרק זמן קבוע. את התדירות נהוג לסמן ב-f והיא נמדדת במערכת היחידות הבינלאומית בהרץ (Hz), כאשר הרץ אחד הוא מחזור אחד לשנייה. לדוגמה, זרם חילופין: תדר הרשת החשמלית בישראל הוא 50 הרץ, כלומר המתח החשמלי משתנה במחזוריות בקצב של 50 מחזורים בכל שנייה.

החזרה (אופטיקה)

החזרה (אופטיקה)

החזרה היא תופעה באופטיקה גאומטרית, המתרחשת כאשר אור פוגע במשטח, וחלק ממנו או כולו מוחזרים אל המרחב בזווית החזרה, כלומר, נוצרת השתקפות.

קיטוב

קיטוב

בפיזיקה, קִיטוּב הוא תכונה המאפיינת גל רוחבי במרחב תלת-ממדי. גל הוא הפרעה מחזורית המתפשטת במרחב, כך שערכיה נשמרים בנקודות שנעות בכיוון כלשהו במהירות קבועה. אם הגל הוא של וקטור, כלומר של גודל בעל כיוון, כיוון זה נדרש על מנת לתאר את הגל בנוסף לכיוון התפשטות הגל.

קיטוב מעגלי

קיטוב מעגלי

קיטוב מעגלי של הגל הוא קיטוב שבו השדה החשמלי שמייצר את הגל לא משנה את עוצמתו אלא משנה רק את כיוונו.

מהירות חבורה

מהירות חבורה

מהירות החבורה של גל או של חבילת גלים היא המהירות שבה מתקדמת מעטפת הגל במרחב. מהירות החבורה נקבעת על ידי יחס הנפיצה של משוואת הגלים המתארת את הגל.

מהירות זוויתית

מהירות זוויתית

מהירות זוויתית או מהירות סיבובית היא גודל המבטא את מהירות הסיבוב של גוף והיא קבועה עבור גוף קשיח חופשי. כאשר גוף שאינו נקודתי מסתובב במרחב על ציר סיבוב כלשהו, המהירות של כל נקודה בגוף שונה. אם הגוף קשיח וחופשי, כל נקודה בו מבצעת תנועה מעגלית קצובה. על מנת להגדיר את מהירות הסיבוב של הגוף נסתכל על הזווית שעובר הקו המחבר נקודה בגוף עם ציר הסיבוב ביחידת זמן, וזו המהירות הזוויתית. אם כן, המהירות הזוויתית היא קצב השינוי בזמן של הזווית בין נקודה כלשהי על הגוף לבין ציר הייחוס, או הנגזרת של הזווית לפי הזמן:.

תנאי שפה

תנאי שפה

תנאי שפה הם נתונים שמאפשרים הפיכת פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית לפתרון מסוים. אם זוהי משוואה דיפרנציאלית רגילה התנאים הם ערכי פונקציית הפתרון או הנגזרות השונות שלה במספר סופי של ערכים של המשתנה שלה. אם זוהי משוואה דיפרנציאלית חלקית תנאי השפה הם פונקציית הפתרון או הנגזרות השונות שלה בתחומים מסוימים (השפה), כלומר הם פונקציות בעצמם.

כל סוג של זורם יכול לאפשר גלים אינרציאליים: מים, שמן, מתכות נוזליות, אוויר, או גזים אחרים. גלים אינרציאליים נצפים בשכיחות הגבוהה ביותר באטמוספירות פלנטריות (גלי רוסבי, רוחות גאוסטרופיות), ובאוקיינוסים ובאגמים (זרמים גאוסטרופיים), שם פעולתם אחראית למרבית הערבוב שמתרחש. באוקיינוגרפיה פיזיקלית, לגלים פנימיים (internal waves) בעלי זמן מחזור ארוך ביותר- שהוא בר- השוואה ליממה ארצית - מתייחסים כגלים שנמצאים קרוב לגבול האינרציאלי (near-inertial waves); כלומר אלו גלים שהמכניזם העיקרי המניע אותם הוא אפקט קוריוליס. גלים פנימיים עם זמן מחזור קצר יותר מושפעים הן מהכבידה והן מאפקט קוריוליס, ולכן הם נקראים גלי כבידה-אינרציאליים. כמו כן, גלים אינרציאליים המושפעים מהשיפוע של קרקעית האוקיינוס נקראים לעיתים גלי רוסבי.

גלים אינרציאליים ניתנים לצפייה בניסויי מעבדה או בזרימות תעשייתיות, ולמעשה בכל מקום בו מבצעים תהליך הכרוך בסחרור זורמים. קרוב לוודאי שהם קיימים גם בליבה הנוזלית של כדור הארץ, ובדומה לכך, התאוריה שלהם רלוונטית גם להבנת תהליכים אסטרונומיים כמו הזרימה בדיסקות ספיחה, טבעות פלנטריות, וגלקסיות.

גלה עוד נושאים הקשורים לדוגמאות לגלים אינרציאליים

אוקיינוגרפיה פיזיקלית

אוקיינוגרפיה פיזיקלית

אוקיינוגרפיה פיזיקלית הוא ענף של אוקיינוגרפיה העוסק בתכונות הימים ודנה בזרמים, רוחות, תצורות ועוד.

דיסקת ספיחה

דיסקת ספיחה

דיסקת ספיחה היא מבנה דמוי דיסקה שנוצר סביב גרמי שמים מסיביים. דיסקת הספיחה מורכבת מחומר מפוזר, בדרך כלל גז או פלזמה, שנע בתנועה מעגלית סביב הגוף המרכזי. החלקיקים בדיסקת הספיחה מתנגשים זה בזה באופן קבוע ונסחפים במסלול ספירלי לכיוון המרכז. האנרגיה הפוטנציאלית שמאבדים האטומים הופכת ברובה לאנרגיית קינטית והטמפרטורה של דיסקת הספיחה עולה באזורים הפנימיים שלה.

טבעת פלנטרית

טבעת פלנטרית

טבעות פלנטריות הן טבעות של חומר הנע סביב כוכב לכת, הנראות כדיסקות שטוחות. במערכת השמש כל 4 ענקי הגז הם בעלי מערכת טבעות. המערכת הטבעתית של שבתאי היא המוכרת והבולטת ביותר.

גלקסיה

גלקסיה

גָּלַקְסִיָּה היא אוסף כוכבים שכוח הכבידה קושר אותם יחד, והם סובבים כולם יחדיו סביב מרכז הגלקסיה. גלקסיות שכנות מרכיבות קבוצות גלקסיות וצבירי גלקסיות ואלו מרכיבים צבירי-על שמכילים הרבה קבוצות וצבירים. מרבית הגלקסיות ניתנות לסיווג נוח לאוסף מוגבל של מבנים קלים לזיהוי. רוב הגלקסיות מוקפות בהילה של צבירים כדוריים.

זרימת זורם בנוכחות גל אינרציאלי נשלטת על ידי משוואות נאוויה-סטוקס במערכת ייחוס מסתובבת. מהירות הזורם ${\displaystyle {\vec {u}}}$ של זורם עם צמיגות ${\displaystyle \nu }$ תחת לחץ ${\displaystyle P}$ ואשר סובב בקצב ${\displaystyle \Omega }$, משתנה לפי הזמן ${\displaystyle t}$ בהתאם למשוואה הדיפרנציאלית:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}P+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}-2{\vec {\Omega }}\times {\vec {u}}.}$

האיבר הראשון באגף ימין הוא גרדיאנט הלחץ, השני מתייחס לדיפוזיה צמיגית והשלישי הוא איבר קוריוליס.

למען הדיוק, ${\displaystyle {\vec {u}}}$ היא מהירות הזורם כפי שנצפית במערכת הייחוס המסתובבת. כיוון שמערכת ייחוס מסתובבת היא מערכת מאיצה (מערכת ייחוס לא אינרציאלית), שני כוחות מדומים נוספים צצים כתוצאה מטרנספורמציית הקואורדינטות הזאת: הכוח הצנטריפוגלי וכוח קוריוליס. במשוואה לעיל, הכוח הצנטריפוגלי כבר נכלל באיבר המתייחס לגרדיאנט של הלחץ המוכלל ${\displaystyle P}$, כלומר, ${\displaystyle P}$ קשור ללחץ הרגיל ${\displaystyle p}$ על ידי המרחק ${\displaystyle r}$ מציר הסיבוב:

${\displaystyle P=p+{\frac {1}{2}}\rho r^{2}\Omega ^{2}}$

במקרה שקצב הסיבוב גבוה, איבר קוריוליס ואיבר הכוח הצנטריפוגלי גדולים משמעותית בהשוואה לאיברים האחרים. מכיוון שהם קטנים בהשוואה לאלו, איבר החיכוך הצמיגי ואיבר "הנגזרת ההסעתית" (האיבר השני באגף שמאל) ניתנים להזנחה. כעת ניקח את הרוטור של שני האגפים; מכיוון שאגף ימין של המשוואה הדיפרנציאלית יהיה הרוטור של גרדיאנט הלחץ (הלחץ הוא פונקציה סקלרית של המרחב), הוא חייב להתאפס. כדי לפשט את אגף שמאל, ניעזר בזהות הווקטורית הבאה לרוטור של המכפלה הווקטורית של ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ו-${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$:

${\displaystyle \nabla \times (\Omega \times u)=(\Omega (\nabla \cdot u)-(\Omega \cdot \nabla )u)+((u\cdot \nabla )\Omega -u(\nabla \cdot \Omega ))}$

מכיוון שהזורם אי-דחיס, הדיברגנץ של שדה המהירויות, ${\displaystyle \nabla \cdot u}$, מתאפס בכל נקודה. כמו כן שני האיברים המכילים פעולות גזירה של ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$ מתאפסים היות שזהו וקטור קבוע. לפיכך כל האיברים בזהות הווקטורית נופלים פרט לאחד, מה שמניב את התוצאה:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\vec {u}}=2({\vec {\Omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}}$

המשוואה האחרונה מתארת את ההתפתחות בזמן של ערבוליות הזורם ${\displaystyle {\vec {\varphi }}=\nabla \times {\vec {u}}}$. כעת ניקח רוטור ונגזרת לפי הזמן של שני האגפים פעם נוספת, ונקבל, תוך שימוש בעובדה ש-${\displaystyle \nabla \times {\vec {\varphi }}=-\nabla ^{2}{\vec {u}}}$ בעבור זרימה אי-דחיסה, את המשוואה הדיפרנציאלית החלקית הבאה:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(\nabla ^{2}{\vec {u}})}{\partial ^{2}t}}=-2({\vec {\Omega }}\cdot \nabla ){\frac {\partial {\vec {\varphi }}}{\partial t}}}$

שימוש בתוצאה הקודמת פעם נוספת מוביל למשוואת הגלים בעבור הפרעות בשדה המהירויות:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(\nabla ^{2}{\vec {u}})}{\partial ^{2}t}}=-4({\vec {\Omega }}\cdot \nabla )^{2}{\vec {u}}}$

זוהי משוואת הגל האינרציאלי בזורם מסתובב.

כדי למצוא את הקשרים המתמטיים בין המאפיינים השונים של הגל, נציב במשוואת הגל האינרציאלי את הצורה המתמטית של גל מישורי, ${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {r}},t)\propto e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}}$, ונקבל:

${\displaystyle \omega ^{2}|k|^{2}{\hat {u}}=-4(\Omega \cdot k)^{2}{\hat {u}}}$

וכך נגלה כי הפתרונות נדרשים להיות בעלי תדירות ${\displaystyle \omega }$ שמקיימת את יחס הנפיצה

${\displaystyle \omega =2{\hat {k}}\cdot {\vec {\Omega }}=2\Omega \cos {\theta },}$

כאשר ${\displaystyle \theta }$ היא הזווית בין ציר הסיבוב וכיוון התקדמות הגל.

יחס הנפיצה נראה דומה מאוד לאיבר קוריוליס במשוואת נאוויה-סטוקס במערכת מסתובבת - שימו לב לקצב הסיבוב ולפקטור 2. יחס הנפיצה מגדיר מיידית את מנעד התדירויות האפשריות בעבור גלים אינרציאליים, כמו גם את תלות תדירותם בכיוון התקדמותם.

התקדמות גלים אינרציאליים במרחב

מהירות המופע (המהירות והכיוון שבה נקודות השיא והשפל נעות) היא ${\displaystyle \omega /k}$ בכיוון וקטור הגל ${\displaystyle {\hat {k}}}$:

${\displaystyle C_{ph}={\frac {\omega (k)}{|k|}}{\hat {k}}=\pm {\frac {2(\Omega \cdot k)}{|k|^{3}}}k}$

בשונה מכך, מהירות החבורה (המהירות והכיוון שבה האנרגיה מועברת) היא הנגזרת של ${\displaystyle \omega }$ ביחס ל-${\displaystyle k}$:

${\displaystyle |C_{gr}|={\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}=-{\frac {2\Omega sin\theta }{k}}=-{\frac {2\Omega }{k}}{\sqrt {1-({\hat {\Omega }}\cdot {\hat {k}})^{2}}}}$

הנוסחה האחרונה מתקבלת מגזירה של ${\displaystyle \omega (k)}$ ביחס לשינוי בוקטור הגל ${\displaystyle d{\vec {k}}}$ הניצב לוקטור הגל ${\displaystyle {\vec {k}}}$. נשים לב גם שבעבור k נתון, הגודל ${\displaystyle |C_{ph}|^{2}+|C_{gr}|^{2}}$ נשמר ומקיים:

${\displaystyle |C_{ph}|^{2}+|C_{gr}|^{2}=4{\frac {\Omega ^{2}}{k^{2}}}}$

מסקנה מעניינת מן הביטויים האחרונים הוא שכאשר התדירות של הגלים האינרציאליים נמוכה מאוד אז מהירות החבורה היא בקירוב מקבילה לציר הסיבוב, כך שהמידע על הפרעות איטיות מועבר בכיוון הזה. זהו המכניזם העומד ביסוד ומתווך את היווצרותם של "עמודי טיילור", תופעה במסגרתה תנועות איטיות בזורם נוטות להיות אינווריאנטיות תחת הזזה במקביל לציר הסיבוב בזורם המסתחרר במהירות.

גלה עוד נושאים הקשורים לתיאור מתמטי

משוואות נאוויה-סטוקס

משוואות נאוויה-סטוקס

משוואות נאוויה-סטוקס מתארות תנועה של זורם צמיג כמו נוזל או גז. המשוואות נקראות על שם מפתחיהן קלוד לואי נאוויה וג'ורג' גבריאל סטוקס. הן נובעות מפיתוח של החוק השני של ניוטון, ומההנחה כי המאמצים בזורם נובעים מהפרש הלחצים בזורם ומצמיגות הזורם.

צמיגות

צמיגות

צְמיגות היא תכונה של זורם המבטאת את התנגדות הזורם לעיוות תחת מאמץ גזירה. הצמיגות נתפסת לעיתים קרובות כסמיכות, או התנגדות למזיגה. הצמיגות מתארת את התנגדותו הפנימית של הזורם לזרימה, וניתן לחשוב עליה כעל מידה של חיכוך. לדוגמה, מתנול הוא "דליל", כלומר בעל צמיגות נמוכה, ושמן או דבש הם "סמיכים" כי יש להם התנגדות גבוהה לשינוי צורה.

גרדיאנט

גרדיאנט

גְּרַדִיאֶנְט הוא הכללה של מושג הנגזרת בעבור חשבון אינפיניטסימלי של מספר משתנים. הגרדיאנט הוא אופרטור וקטורי המופעל על שדה סקלרי. הגרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי המשייך לכל נקודה במרחב וקטור.

רוטור (מתמטיקה)

רוטור (מתמטיקה)

רוטור (Rotor) או קרל (Curl) הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת. הרוטור של שדה וקטורי הוא בעצמו שדה וקטורי. הרוטור משמש רבות בתחומים הקשורים לתנועת זורמים, כגון הידרודינמיקה, אווירודינמיקה ומטאורלוגיה, וגם בתחום האלקטרודינמיקה כאשר מתארים את הקשר בין שדות מגנטיים, שדות חשמליים וזרמים.

מכפלה וקטורית

מכפלה וקטורית

במתמטיקה ובפיזיקה, מכפלה וקטורית היא פעולה בינארית על שני וקטורים במרחב תלת ממדי, שמחזירה וקטור. הווקטור המוחזר תמיד ניצב לשני הווקטורים המוכפלים.

דיברגנץ

דיברגנץ

באנליזה וקטורית, הדיברגנץ הוא אופרטור המופעל על שדה וקטורי. הדיברגנץ משייך לכל נקודה במרחב ערך מספרי המתאר את צפיפות המקורות של השדה הווקטורי שעליו הוא מופעל.

משוואה דיפרנציאלית חלקית

משוואה דיפרנציאלית חלקית

במתמטיקה, משוואה דיפרנציאלית חלקית היא משוואה הקושרת בין פונקציה בשני משתנים בלתי תלויים או יותר, לבין נגזרותיה החלקיות, כאשר הפונקציה היא הנעלם במשוואה. לעומתה, משוואה דיפרנציאלית רגילה קושרת בין פונקציה במשתנה יחיד לנגזרותיה.

משוואת הגלים

משוואת הגלים

משוואת הגלים היא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני שמתארת באופן כללי את התנהגותם של גלים שונים.

גל מישורי

גל מישורי

גל מישורי הוא גל בעל חזית גל בצורת מישור. גל מישורי הוא אופן התפשטות אפשרי של גל בחלל הפתוח ובמובילי גל שונים. גל בעל חזית גל בצורת מישור אינסופי אינו פיזיקלי, אך גלים שונים הם בקירוב גלים מישוריים. לדוגמה, גל כדורי הוא בקירוב גל מישורי הרחק מהמקור, וכך אור השמש המגיע לכדור הארץ הוא בקירוב גל מישורי.

יחס נפיצה

יחס נפיצה

בפיזיקה, יחס נפיצה הוא הקשר המתמטי בין התדירות הזוויתית של גל לווקטור הגל או מספר הגל k, כלומר: הפונקציה . יחס הנפיצה נקבע על ידי משוואת הגלים המתארת את התופעה הפיזיקלית. לעיתים מכונה כך גם הקשר בין האנרגיה E של המערכת לתנע שלה. במכניקת הקוונטים ומכניקה סטטיסטית מדברים גם על יחס נפיצה בין האנרגיה לווקטור הגל. כיוון שמתקיימים הקשרים ו , ההגדרות שקולות עד כדי פקטור כפלי של קבוע פיזיקלי.

עמוד טיילור

עמוד טיילור

עמוד טיילור הוא תופעה במכניקת הזורמים המתרחשת כתוצאה מאפקט קוריוליס. במסגרת התופעה, זורמים המסתחררים במהירות זוויתית גבוהה וסופגים הפרעה קלה בשדה המהירויות שלהם כפי שאלו נצפות ממערכת ייחוס המסתובבת ביחד עם הזורם, נוטים להסתדר בעמודים המקבילים לציר הסיבוב אשר מהירות הזורם לא משתנה לאורכם. עמודים אלה נקראים "עמודי טיילור", על שם ג'פרי אינגרם טיילור, מחשובי חוקרי מכניקת הזורמים במאה ה-20.

במרחב חופשי נטול גבולות (ללא קצוות), גל אינרציאלי מתקדם מייצג תבנית של וקטורי מהירות וערבוליות (של שדה המהירות) המשתנה במרחב ובזמן. אגף ימין של המשוואה המרכזית, ${\displaystyle 2({\vec {\Omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}}$, הוא לא אחר מאשר ${\displaystyle 2\Omega }$ כפול הנגזרת הכיוונית של השדה ${\displaystyle {\vec {u}}}$ בכיוון ציר הסיבוב (שנתייחס אליו כאל ציר z), דהיינו ${\displaystyle {\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}{\hat {z}}}$. אגף שמאל של המשוואה המרכזית מייצג את קצב השינוי (הנגזרת הזמנית) של וקטור הערבוליות של שדה המהירויות, בנקודה נתונה. מכיוון ששדה המהירויות של זורם בלתי-דחיס הוא שדה וקטורי סולנואידי על פי הגדרה (אין לו מקורות או בורות), הדיברגנץ שלו מתאפס בכל נקודה, כלומר: ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}=0}$. לפיכך ניתן לרשום מחדש את המשוואה המרכזית באופן הבא:

${\displaystyle (*){\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\vec {u}})=-2\Omega ({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}})}$

אגף ימין של המשוואה החדשה המסומנת ב-(*) הוא מעין גרסה דו-ממדית ולא שלמה של הדיברגנץ של ${\displaystyle {\vec {u}}}$; הוא מייצג את ההתכנסות או ההתבדרות המקומית של היטלי השדה ${\displaystyle {\vec {u}}}$ על מישור xy, בתוך מישור זה. למשוואה האחרונה ניתן לתת כעת פרשנות פיזיקלית: בנקודות התכנסות (או התבדרות) של הזרימה במישור xy, אותם ניתן לתאר בפשטנות כשדה רדיאלי הקורן מתוך נקודת ההתכנסות, תאוצת קוריוליס שואפת להסיט את הזרימה בניצב לכיוון הרדיאלי - כלומר בכיוון המשיקי, ולכן גם היא שואפת להגדיל או להקטין את הערבוליות המקומית במישור xy. במילים אחרות, היכן שיש התכנסות או התבדרות של השדה ${\displaystyle {\vec {u}}}$ במישור xy, כוח קוריוליס שואף לשנות את הציקלוניות המקומית.

כאשר הציקלוניות משתנה בשיעור אינפיניטסימלי, גם הספיקה הנפחית לתוך אלמנט הנפח משתנה בשיעור אינפיניטסימלי; מכיוון שאנו מניחים מצב יציב, פירוש הדבר הוא שלאחר פרק זמן dt גם המהירות ${\displaystyle u_{z}}$ צריכה להשתנות. לפיכך הדבר תואם למצב של התקדמות גל בכיוון השתנות המופע המרבית (כיוון וקטור הגל ${\displaystyle {\hat {k}}}$). באופן כללי, שדה המהירויות המקושר לגלים אינרציאליים מזכיר תבריג בורגי; קווי הזרם הרגעיים בנוכחותו של גל אינרציאלי דומים לסליל.

גלה עוד נושאים הקשורים לפירוש איכותי של התיאור המתמטי

ערבוליות

ערבוליות

במכניקת הרצף, ובהידרודינמיקה בפרט, הערבוליות היא גודל וקטורי המודד את מידת הסחרור המקומית של תווך חומרי בנקודה מסוימת, כפי שהייתה מורגשת על ידי צופה המוצב באותה נקודה ונודד ביחד עם הזרימה. זהו גודל חשוב בתאוריה הדינמית של זורמים המספק מסגרת מושגית נוחה להבנת מגוון תופעות מורכבות הקשורות בזורמים, כמו למשל היווצרותן ותנועתן של טבעות מערבולות.

נגזרת כיוונית

נגזרת כיוונית

במתמטיקה, הנגזרת הכיוונית היא ערך המייצג את קצב השינוי של פונקציה רבת משתנים בכיוון של וקטור נתון. לכן זוהי הכללה של נגזרת חלקית, שבה הכיוון הוא תמיד במקביל לאחד מהצירים הראשיים.

שדה וקטורי סולנואידי

שדה וקטורי סולנואידי

באנליזה וקטורית, שדה וקטורי סולנואידי הוא שדה וקטורי v עם דיברגנץ אפס בכל הנקודות במרחב:

בורג

בורג

בורג הוא אביזר חיבור והרכבה עם תבריג חיצוני. בדומה למסמר, שימושו העיקרי הוא הידוק פריטים על ידי החדרתו לנקב קיים או נקב שנוצר עקב החדרת הבורג. בורג הוא אחת משש המכונות הפשוטות ומכפיל את הכוח המופעל עליו כדי לחדור את החומר, באמצעות עיקרון של יתרון מכני.

קווי זרם, קווי סימון וקווי מסלול

קווי זרם, קווי סימון וקווי מסלול

 זרימת נוזל מאופיינת בווקטור מהירות תלת ממדי . במסגרת מכניקת הרצף קווי זרם, קווי מסלול וקווי סימון הם קווי שדה הנובעים מהשדה הווקטורי של תיאור הזרימה. הם נבדלים רק כאשר הזרימה משתנה בזמן כלומר בתנאי שהזרימה איננה תמידית. קווי זרם הם משפחת עקומות אשר משיקים רגעית לווקטור מהירות הזרימה. קו הזרם מראה את כיוון תנועתו של חלקיק חסר מסה בכל רגע בזמן..  קווי סימון הם המיקום הגאומטרי של כל חלקיקי הנוזל שעברו ברציפות דרך נקודה ספציפית בעבר. ניתן לראות את קווי הסימון על ידי הזרקת צבע בנקודה מסוימת בשדה הזרימה.  קווי מסלול הם מסלולים שמבדילים בין חלקיקים של הזרימה. ניתן לדמיין זאת כ"הקלטה" של מסלול חלקיק לאורך זמן. כיוון קווי המסלול יקבע לפי קווי הזרם של שדה הזרימה בכל רגע בזמן. 

סליל (צורה גאומטרית)

סליל (צורה גאומטרית)

סליל היא צורה גאומטרית המתוארת על ידי עקומה חלקה במרחב אשר לה תכונה המגדירה שהמשיק בכל נקודה יוצר זווית קבועה עם ישר הנקרא ה"ציר".