מרחב בנך

כדור היחידה ${\displaystyle \ \{x:||x||$ במרחב נורמי הוא תמיד קמור, פתוח וסימטרי לשיקוף סביב 0. במרחב ממימד סופי, גם ההפך נכון: כל גוף בעל פנים לא ריק בעל תכונות אלה הוא כדור היחידה של נורמה מתאימה. התנאי על קמירות כדור היחידה שקול לאי-שוויון המשולש שהנורמה צריכה לקיים.

משפט האן-בנך מאפשר להרחיב פונקציונלים מתת-מרחב אל המרחב כולו, וכך מאפשר לבנות פונקציונלים רציפים רבים.

משפט בנך-שטיינהאוס (הנקרא גם עקרון החסימות במידה שווה) טוען שאם למשפחה של אופרטורים ליניאריים רציפים על מרחב בנך יש חסם משותף בכל נקודה של המרחב, אז יש חסם אחיד על הנורמה שלהם.

לפי משפט ההעתקה הפתוחה (או בניסוח שקול משפט הגרף הסגור), כל אופרטור ליניארי חסום ממרחב בנך אחד על מרחב בנך אחר, הוא פתוח.

לפי משפט מזור-אולם, המבנה המטרי על מרחב בנך קובע את המבנה הליניארי שלו: אם ${\displaystyle \ f:X\to Y}$ היא איזומטריה בין מרחבי בנך וגם על, אז ${\displaystyle \ f}$ היא ליניארית.

גלה עוד נושאים הקשורים לתכונות

קבוצה קמורה

קבוצה קמורה

במתמטיקה, קבוצת נקודות במרחב וקטורי היא קמורה אם לכל שתי נקודות שבתוכה, גם הקטע המחבר את שתי הנקודות נמצא כולו בתוכה. למשל, משולש, עיגול או מקבילית הן צורות קמורות, אבל טבעת או פרסה אינן צורות קמורות.

קבוצה פתוחה

קבוצה פתוחה

בטופולוגיה ובענפים אחרים הקרובים לה במתמטיקה, קבוצה נקראת קבוצה פתוחה אם, באופן אינטואיטיבי, עבור כל נקודה ב- ניתן לזוז מעט בכל כיוון ועדיין להימצא בקבוצה .

סימטריה

סימטריה

סִימֶטְרִיָּה בשפה היומיומית מתארת תחושה של פרופורציה, הרמוניה ושיווי משקל, או מושג מתמטי מדויק, שמשתמשים בו במסגרת החוקים של מערכות פורמליות, כגון גאומטריה ופיזיקה לתאר בדרך כלל אובייקט שאינו משתנה תחת כמה טרנספורמציות. מכיוון שיש קשר בין שתי המשמעויות, הן נדונות יחד בערך זה. ההפך של סימטריה הוא אסימטריה.

אי-שוויון המשולש

אי-שוויון המשולש

במתמטיקה, אי-שוויון המשולש הוא אי-שוויון מהצורה , כאשר היא פונקציית מרחק. אי-השוויון מתאר את העובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; בפרט, אורכה של צלע במשולש אינו עולה על סכום אורכי הצלעות האחרות. אי-שוויון המשולש נחשב לתכונה יסודית של כל שיטה למדידת מרחק, ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל מרחב מטרי או נורמי. הגרסה החזקה נקראת אי-שוויון המשולש למטריקות לא ארכימדיות.

משפט האן-בנך

משפט האן-בנך

משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד ובאופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.

משפט בנך-שטיינהאוס

משפט בנך-שטיינהאוס

משפט בנך-שטיינהאוס, הידוע גם בשם עקרון החסימות במידה שווה, הוא משפט מתמטי יסודי וחשוב באנליזה פונקציונלית. עקרון זה טוען עבור משפחה של העתקות ליניאריות רציפות על מרחב בנך, שאם יש חסם משותף לכל האופרטורים במשפחה בכל נקודה של המרחב, אז יש חסם אחיד על הנורמה שלהם.

אופרטור

אופרטור

במתמטיקה, אוֹפֵּרָטוֹר (Operator) הוא סמל המשמש לציון פעולה הפועלת על מספר קבוע או משתנה של איברים בקבוצה, ותוצאתה היא איבר בקבוצה. האיברים שעליהם פועל האופרטור נקראים אופרנדים. לעיתים משתמשים במילה כשם נרדף לפעולה מתמטית, אך בדרך כלל יעשה שימוש במילה לציון פעולה אלגברית הפועלת על וקטורים במרחב וקטורי.

אלגברה ליניארית

אלגברה ליניארית

אלגברה ליניארית היא ענף של האלגברה העוסק במערכות של משוואות ליניאריות כמו ובהעתקות ליניאריות כמו והצגותיהן בעזרת מטריצות ומרחבים וקטוריים (בהתאמה).

נורמה של אופרטור

נורמה של אופרטור

באנליזה מתמטית, נורמה של אופרטור בין מרחבים נורמיים היא מספר המודד באיזו מידה עשוי האופרטור להגדיל את אורכו של וקטור שהוא פועל עליו. אופרטור שיש לו נורמה סופית הוא חסום. הנורמה של אופרטורים הופכת את מרחב האופרטורים ממרחב בנך אל עצמו, למרחב בנך שהוא אלגברת סי-כוכב.

משפט ההעתקה הפתוחה

משפט ההעתקה הפתוחה

משפט ההעתקה הפתוחה הוא משפט חשוב באנליזה פונקציונלית הנוגע לאופרטורים. את המשפט ניסח והוכיח סטפן בנך.

איזומטריה

איזומטריה

בטופולוגיה, איזומטריה היא פונקציה משמרת מרחק ממרחב מטרי אחד על מרחב מטרי אחר. מרחבים שיש ביניהם איזומטריה הם איזומטריים, ויש להם אותן תכונות מטריות.

• המרחב האוקלידי הוא מרחב בנך. באופן כללי יותר, כל מרחב הילברט הוא מרחב בנך.

מרחבי סדרות

• אוסף הסדרות של מספרים ממשיים ${\displaystyle \ (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ שמקיימות ${\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ הוא מרחב בנך עם הנורמה ${\displaystyle \|(a_{n})\|_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$. מרחב זה מסומן ב ${\displaystyle \ \ell _{1}}$.

• כהכללה של הדוגמה הקודמת, אם ${\displaystyle \ 1\leq p$, מגדירים את המרחב ${\displaystyle \ \ell _{p}}$ להיות אוסף הסדרות ${\displaystyle \ (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ שמקיימות ${\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}$. מרחב זה הוא מרחב בנך תחת הנורמה ${\displaystyle \|(a_{n})\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$. אם ${\displaystyle \ p=\infty }$ מגדירים את המרחב ${\displaystyle \ \ell _{\infty }}$ להיות אוסף הסדרות החסומות עם הנורמה ${\displaystyle \ \|(a_{n})\|_{\infty }=\sup |a_{n}|}$ וזהו מרחב נורמי. אם ${\displaystyle \ p$, המרחב המתקבל הוא מרחב מטרי שלם (ואפילו מרחב פרשה) אבל איננו מרחב בנך כי אין עליו נורמה.

מרחבי פונקציות

• אוסף רחב יותר של דוגמאות מתקבל באופן הבא: אם ${\displaystyle \ (X,\mu )}$ הוא מרחב מידה מגדירים את ${\displaystyle \ L_{p}(X,\mu )}$ להיות אוסף מחלקות השקילות של פונקציות ${\displaystyle \ f:X\to \mathbb {C} }$ המקיימות ${\displaystyle \ \int _{X}|f(x)|^{p}d\mu (x)$ תחת יחס השקילות של שוויון כמעט תמיד. מרחב זה הוא מרחב בנך תחת הנורמה

${\displaystyle \ \|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f(x)|^{p}d\mu (x)\right)^{1/p}}$

• מרחב הפונקציות החסומות ממשיך את הדוגמה הקודמת למקרה ${\displaystyle \ p=\infty }$. אם X מרחב מטרי, ${\displaystyle \ L^{\infty }(X)}$ הוא המרחב של הפונקציות החסומות ${\displaystyle \ X\rightarrow \mathbb {C} }$ (לפעמים מדובר בפונקציות ממשיות דווקא). זהו מרחב נורמי, עם נורמת הסופרימום של הפונקציות. שיכון קורטובסקי (${\displaystyle \ x\mapsto (y\mapsto d(x,y)-d(x_{0},y))}$ כאשר ${\displaystyle \,x_{0}}$ נקודה קבועה) מראה שכל מרחב מטרי משוכן במרחב הפונקציות החסומות המתאים לו.

• מרחב הפונקציות הרציפות ${\displaystyle \ C(X)}$ ממרחב מטרי X אל המספרים המרוכבים (או הממשיים).

גלה עוד נושאים הקשורים לדוגמאות

מרחב אוקלידי

מרחב אוקלידי

במתמטיקה, מרחב אוקלידי הוא הכללה לממד כללי של המישור וגם של המרחב התלת-ממדי, שהם הבסיס של הגאומטריה האוקלידית. מרחבים אוקלידיים נבדלים מן המרחבים העקומים של הגאומטריה הלא אוקלידית. המונח אוקלידי נגזר משמו של המתמטיקאי היווני אוקלידס.

מרחב הילברט

מרחב הילברט

מרחב הילברט הוא מרחב מכפלה פנימית שהוא מרחב מטרי שלם ביחס לנורמה שמשרה המכפלה הפנימית שלו, בדרך כלל מממד אינסופי. מרחבי הילברט קרויים על שם המתמטיקאי הנודע דויד הילברט ונודעת להם חשיבות רבה במסגרת תורת האנליזה הפונקציונלית.

מרחב מטרי

מרחב מטרי

בטופולוגיה, מרחב מטרי היא קבוצה שמוגדרת עליה פונקציה סימטרית וחיובית, המקיימת את אי־שוויון המשולש. פונקציה כזו מקיימת את התכונות היסודיות של המרחק הגאוגרפי, ולכן רואים בה הכללה של מושג המרחק. המטריקה מאפשרת להגדיר במרחב כדורים, שבזכותם יש למרחבים מטריים תכונות טופולוגיות קיצוניות.

פונקציה חסומה

פונקציה חסומה

באנליזה מתמטית, פונקציה חסומה היא פונקציה, בדרך-כלל ממשית או מרוכבת, שכל ערכיה קטנים בערכם המוחלט ממספר קבוע כלשהו. אומרים שהפונקציה חסומה בתחום A אם קיים קבוע M כך שלכל , . פונקציה ממשית נקראת חסומה מלמעלה אם קיים קבוע M כך ש- לכל x בתחום, וחסומה מלמטה אם קיים קבוע m כך ש- לכל x בתחום.

פונקציה ממשית

פונקציה ממשית

פונקציה ממשית היא פונקציה המחזירה ערכים ממשיים. לעיתים קרובות פונקציה כזו מוגדרת על הישר הממשי או על חלק ממנו.

מרחב נורמי

מרחב נורמי

מרחב נורמי הוא מרחב וקטורי שעליו מוגדרת נורמה. הנורמה היא פונקציה המקבלת וקטור ומחזירה מספר ממשי, ומצייתת לשלוש אקסיומות: היא חיובית ומתאפסת רק באפס; היא הומוגנית; והיא מקיימת את אי-שוויון המשולש.

מרחבי הילברט הם דוגמה קיצונית של מרחבי בנך, ותכונות שונות של מרחבי בנך מודדות עד כמה הם קרובים להיות מרחבי הילברט.

מרחב הפונקציונלים הליניארים על מרחב בנך ${\displaystyle \ X}$ גם הוא מרחב בנך תחת הנורמה ${\displaystyle \ \|\varphi \|=\sup _{x\in X,\|x\|=1}\varphi (x)}$ מרחב זה מסומן לרוב ב ${\displaystyle \ X^{*}}$. לדוגמה, אם ${\displaystyle \ {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ וגם ${\displaystyle \ p$ אז ${\displaystyle \ell _{p}^{*}=\ell _{q}}$. לעומת זאת, ${\displaystyle \ell _{\infty }^{*}\neq \ell _{1}}$. מדוגמה זו רואים שלא תמיד מתקיים ${\displaystyle \,X^{**}=X}$. לעומת זאת, יש שיכון טבעי ${\displaystyle \,X\hookrightarrow X^{**}}$. מרחב בנך שעבורו השיכון ${\displaystyle \,X\hookrightarrow X^{**}}$ הוא איזומורפיזם נקרא מרחב רפלקסיבי. כל מרחב הילברט הוא רפלקסיבי.

מרחב בנך שלכל תת-מרחב ספרבילי שלו, A, גם ${\displaystyle \ A^{*}}$ הוא ספרבילי, נקרא מרחב Asplund; כל מרחב רפלקסיבי הוא Asplund.

מרחב בנך שאינו מכיל עותק איזומורפי של ${\displaystyle \ \ell _{1}}$ נקרא מרחב Rosenthal. כל מרחב Asplund הוא Rosenthal.

כל מרחב בנך רפלקסיבי הוא נוצר קומפקטית-חלש (weakly complactly generated), כלומר, יש בו קבוצה קומפקטית (בטופולוגיה החלשה), הפורשת מרחב צפוף. כל מרחב כזה הוא Weakly Lindelof determined (יש בו קבוצה M הפורשת מרחב צפוף, כך שהחיתוך שלה עם התומך של כל פונקציונל ליניארי הוא בן-מניה). מרחב מסוג זה, שהוא Asplund, הוא ספרבילי.